Contoh soal dan pembahasan Tentang Program Linear dan Model Matematika

Soal:

1. Nilai maksimum f(x,y) = 5x+4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤8, x+ 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah …..

A.    24

B.     32

C.    36

D.    40

E.     60

2. Daerah yang diarsir pada grafik di samping adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai minimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut …..

A.    30

B.     26

C.    24

D.    21

E.     18

3. Seorang ibu yang mempunyai 4 kg terigu dan 2,4 kg mentega ingin membuat donat dan roti untuk dijual. Satu donat membutuhkan 80 gr terigu dan 40 gr mentega, dan satu roti membutuhkan 50 gr terigu dan 60 gr mentega. Jika ia harus membuat paling sedikit 10 buah donat. Maka model matematika yang sesuai adalah …..

A.    8x + 5y ≥ 400;2x + 3y ≥ 120;x ≥ 10; y ≥ 0

B.     8x + 5y ≤ 400;2x + 3y ≤ 120;x ≥ 10; y ≥ 0

C.    8x + 5y ≥ 400;2x + 3y ≥ 12;x ≥ 0; y ≥ 10

D.    5x + 8y ≥ 400;3x + 2y ≥ 12;x ≥ 0; y ≥ 10

E.     5x + 8y ≥ 400;3x + 2y ≤ 12;x ≥ 10; y ≥ 0

4. Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah …..

A.    4

B.     6

C.    7

D.    8

E.     9

5. Disebuah kantin, Ani dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp. 35.000,00 untuk 4 mangkok bakso dan 6 gelas es yang dipesannya, sedang Adi dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp. 50.000,00 untuk 8 mangkok bakso dan 4 gelas es. Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah …..

A.     Rp. 27.500,00

B.     Rp. 30.000,00

C.     Rp. 32.500,00

D.    Rp. 35.000,00

E.      37.500,00

PEMBAHASAAN:

1. pertidaksamaan:                  x + y ≤ 8 maka:

                                                  Ketika x = 0, y= 8

                                                  y = 0, x = 8

                                                  x + 2y ≤ 12 maka:

                                                  ketika x = 0, y = 6

                                                  y = 0, x = 12

Sehingga grafik pertidaksamaan garisnya adalah:

titik potong                               nilai titik kritis pada fungsi objektif:

x + y = 8                                    f(x,y) = 5x + 4y

x -+ 2y = 12                              (8,0) = 5.8 + 0 =40

——————— -                     (0,6) = 0 + 4.6 = 24

-y = -4 // y = 4                          (4,4) = 5.4 + 4.4 = 36

Jadi, nilai maksimumnya 40.                                                JAWABAN: D

2.                                                                     

 

Pertidaksamaan dari dua garis pada grafik adalah:

6x + 4y ≥ 24 atau 3x + 2y ≥ 12 ; dan

4x + 6y ≥ 24 atau 2x + 3y ≥ 12

Titik potong dua garis (B) adalah:

3x + 2y = 12 |×2| 6x + 4y = 24

2x+ 3y = 12 |×3| 6x + 9y = 36

                            ——————— -

                            -5y = -12

                            y = 12/5

3(12/5) + 2y = 12

ð  2y = 12 – 36/5

ð  2y = 60 – 36/5 = 24/5

ð  Y= 24/5 × ½ = 12/5

Fungsi objektif f(x,y) = 3x + 5y

(6,0) = 3.6 + 0 = 18

(12/5, 12/5) = 3 (12/5) + 5 (12/5) = 36/5 +12 = 7 (1/5) +12 = 19 (1/5)

(0,6) = 0 + 5.6 = 30                                          jadi nilai minimumnya adalah 18 JAWABAN: E

3. Misal: donat= x dan roti= y

	TERIGU	MENTEGA
DONAT (X)	80 gram	40 gram
ROTI (Y)	50 gram	60 gram
Banyaknya	4000 gram	2400 gram

Model matematika yang bisa dibuat:

ð 80x + 50y ≤ 4000 atau 8x + 5y ≤ 400

ð 40x + 60y ≤ 2400 atau 2x + 3y ≤ 120

ð Donat yang bisa dibuat paling sedikit 10 maka x ≥ 10 dan y ≥ 0

                                                                                       JAWABAN: B

4. persamaan garis adalah ax + by = a.b

Diketahui:

Persamaan garisnya adalah:

4x + 2y = 8 atau 2x + y = 4, dan

3x + 3y = 9 atau x + y = 3

Sehingga titik potong dua garis (titik B) adalah:

2x + y = 4

x + y = 3

————— -

X = 1

Maka y = 2 sehingga koordinat B (1,2)

Terdapat tiga titik kritis, yaitu (3,0); (1,2); dan (0,4).

Fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y

ð (3,0) maka 3.3 + 0 = 9

ð (1,2) maka 3.1 + 2.2 = 7

ð (0,4) maka 0 + 2.4 = 8

Jadi nilai minimumnya 7.                                          JAWABAN: C

5. Misalkan:

Harga 1 mangkuk bakso = x

Harga 1 gelas es = y

Selanjutnya, berdasarkan soal didapatkan system pertaksamaan berikut:

Gambar grafik yang memenuhi:

titik potong ke-2 garis diperoleh dengan cara eliminasi. Selanjutnya kita lakukan uji titik pojok ke 5x + 3y. dapat disimpulkan bahwa maksimum harga yang harus dibayar untuk 5 mangkok bakso dan 3 gelas es adalah:

5y + 3x = 5(5000) + 3(2500)= 32.500 

JAWABAN: C

SEMOGA BERGUNA YAA!! ^^

sorry gambar grafiknya gak ada :D